超平面的公式
首先明确几个定义：
(1) 超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间。它可以把线性空间分割成不相交的两部分。比如二维空间中，一条直线是一维的，它把平面分成了两块；三维空间中，一个平面是二维的，它把空间分成了两块。（事实上，m维空间的超平面的维数就是m-1）
(2) 法向量是指垂直于超平面的向量。
我们以三维空间为例。在\(R^3\)空间中，假如有法向量\(w\) 过原点的平面内任意原点出发的向量\(x\) 必然与之满足 \(w^Tx=0\)。如果平面沿着法向量的方向上下平移了，那么这个方程就不成立了。
我们假设平移之后平面经过 \(x'(x’_1,x’_2,x’_3)\) , 平面内任意一点记为\(x(x_1,x_2,x_3)\) , 法向量记为\(w(w_1,w_2,w_3)\) , 如下图。
不难看出，\(x-x’\)在平面内，当然也就和法向量垂直。于是我们有：
$$(x-x’)w=0
\Longrightarrow
\begin{bmatrix}
x_1-x’_1 & x_2-x’_2 & x_3-x’_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
w_1 \\
w_2 \\
w_3
\end{bmatrix}
=0
$$
化简之后：
$$w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3=w_1x’_1+w_2x’_2+w_3x’_3 $$
即
$$w^Tx=w^Tx’$$
由于\( w^Tx’ \)为常数项，令 \(b= -w^Tx’ \) , 于是超平面的公式可以写成：
$$w^Tx+b=0$$
- 这个结论同样适用于 \(R^n\)空间
- 无论超平面如何平移，系数始终是法向量 \(w\)
点到超平面的距离
上图中 \(x\) 是平面外的一点。我们要求的距离记为 \(d\) ， 就是红色的线段。根据三角函数可以得到
$$cos\theta=\frac{d}{||x-x’||}$$ 空间中一点向超平面作垂线，\(\theta\) 只能是锐角，不必担心正负）。因为d肯定和法向量平行，所以这样来算夹角：
$$|(x-x’)w|=||x-x’||||w||cos\theta$$( 因为法向量可能反向，所以给等式左边加上绝对值) ，联立得：
$$d=\frac{ |(x-x’)w| }{||w||}=\frac{wx-wx’}{||w||}$$
因为\(x’\)在超平面内， \(wx’=-b\) 于是最后得到的任意点到超平面的距离公式：
$$d=\frac{wx+b}{||w||}$$
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